国内外儿童估算发展研究综述

  简单说，估算是近似地猜测事物数量的行为。是指个体懂得在什么情况下无法或不必做出精确的数字处理或数字运算，而应用相关数学知识和策略给出近似答案的能力。我们常常有规律地使用估算来解决诸如多少，多重、多高、多满等问题。

　　研究表明，从教育上说，估算和与估算相关的能力促进了儿童对数字关系理解的发展；从理论上说，估算研究是一种了解人们如何理解数学思想的方法。 [1] 现有估算研究主要集中于以下主题：估算类属划分；估算的理论阐释；各年龄组儿童的各种估算任务表现的描述；估算策略的鉴定；估算能力和其他认知能力间的关系；估算教学等。

一、估算的类属

　　可能由于数学领域中对估算的强调相对较晚，在数学教育研究文献中，估算主题还没有像其它数学能力一样受到足够重视。在现有研究文献中，一般按照操作任务的差异把估算划分为三类：数量估算，测量估算和计算估算。 [2]

　　桑德（ Sowder ， 1992 ）在有关估算研究的概述中采用此三分法。但她开始提到了这些任务所需技能的区别：“计算估算，测量估算，和数量估算……每一种估算均需要不同的理解和不同的技能……测量估算和数量估算需要某些相同的技能……然而，估算一块瓦片的长度，需要某种与数量估算完全不同的技能类型。” (p.371) [3] “测量估算需要与计算估算完全不同的技能。”（ p.382 ） [4] 这些陈述似乎是基于对任务的逻辑分析，因为她没有提到任何与所提及技能或能力相关的实证研究的引用。

　　霍根（ Hogan ）和布热津斯基（ Brezinski ）（ 2003 ）对 53 名在校大学生进行了五种能力的测试：数能力，数量推理，计算估算，测量估算，数量估算。结果表明：计算估算可以包含在更一般的数学能力之下，它不是一种独立的单一数学技能，而是一般的数学能力的一个组成部分； 数量估算和测量估算形成了一种独特的估算技能，从计算估算和一般的数学能力中分离出来，而且这种分离是相当完全的。计算估算能力的发展可能在于与计算熟练程度和计算系统概念发展的结合。而测量估算能力没有自动跟随一般数学能力的发展，测量估算应该被定义为一种独立的技能。事实上，由于它潜在的异质性，测量估算可能需要一种显著多变的方法。 [5]

二、估算的理论研究

（一）估算的心理表征研究

　　数学问题解决是一个复杂的认知活动，研究者把它定义为是一个两阶段过程，即表征和执行过程。成功的问题解决者使用各种方法表征问题。 [6]

　　研究者认为，儿童的估算可能反映了他们对数的内部表征。然而这些假设的表征差异相当大。吉本（ Gibbon ）和丘奇（ Church ）（ 1981 ）提出一种选择性表征（ alternative representation ），他们称其为积聚者模型（ the accumulator model ）。认为儿童是把数和其他的量表征为随等级变量呈线性增长却占有相同空间的数量。在该模型内，对数模式反映了各种表征间交迭的程度。 [7] 亨特利 - 芬纳（ Huntley-Fenner ， 2001 ）发现在点的估算任务中， 5 － 7 岁儿童的得分均值和变异都与该种模型的预测相吻合。 [8]

　　凯斯（ Case ）和奥卡莫多（ Okamoto ）（ 1996 ）认为不同年龄的儿童会用不同的表征，但特定年龄的儿童是使用单一表征。 4 岁和 5 岁儿童只拥有一种用以表征数的中心概念结构。 6 岁和更大年龄的儿童拥有并始终依赖于一种线性结构，凯斯把该结构描述为一种随数量而线性增长的数字线。 [9] 也有人称此为线性尺表征（ linear ruler representations ）。 [10]

　　德汉尼（ Dehaene ）的研究表明，从婴儿到成人的各年龄段里，人和许多动物一样，依赖于对数尺表征（ logarithmic ruler representations ）。对数尺表征模型夸大了数字线低端范围数的大小间的距离，而缩小了中间和高端范围数的大小间的距离。 [11][12]

 

　　西格勒（ Siegler ）等人（ 2004 ）研究表明，儿童可能是懂得并能使用多重的数表征，而情景变量会影响儿童在特定情境下选择哪一种表征。儿童所依赖的每种表征的情境范围可能会随年龄和数字经验而变化。随着年龄和经验的增长，儿童会逐渐依赖于更适合于具体情境的表征方式。 [13] 估算的核心特征就是估算过程是一种在多种表征间转换的过程，如在数表征和空间表征间转换。 [14]

（二）估算过程的理论模型研究

　　估算研究能够用于数学能力领域的认知发展研究。特别是，估算过程对各种数学知识和认知过程之间的相互作用提供了洞察力。

　　凯斯等人的研究（ 1990 ）表明，估算总和需要协调两种组成活动：一是用接近判断来选择对加数合适的替代；二是对替代数字的总和进行心算。他们认为儿童直到达到矢量思维水平才能进行这种协调，大约要在 11 或 12 岁。他们根据凯斯（ Case ， 1985 ）的智力发展理论，用学前班， 2 ， 4 ， 7 ， 9 年级中各 12 名儿童进行多层加法估算问题，结果表明儿童首先解决包含一个加法估算所需成分的任务，然后才解决包含两个加法估算成分的任务。从而划分出六个阶段：单维思维阶段（约 6 岁），即进行个位数加法或个位数的接近判断；二维思维阶段（ 8 岁），即进行两位数加法或两位数的接近判断；精致的二维思维阶段（约 10 岁），儿童能进行需要重组或移动的两位数加法，或更复杂的两位数接近判断；单矢量思维（ Univectorial thought ）阶段（约 11 或 12 岁），多位数总和估算出现，儿童能凑整运算；双矢量思维（ Bivectorial thought ）阶段（约 13 到 15 岁），儿童能运算两个凑整数量的总数，也能进行补偿（ compensation ）；精致的双矢量思维阶段，儿童可以对任何数字进行凑整和补偿。 [15]

　　勒费布尔（ LeFevre ）等人（ 1993 ）基于西格勒在简单算术中的策略选择模型，结合桑德等人（ 1989 ）的三种主要估算组成部分：概念性知识，技能（估算程序知识和其他相关的技能），和情感性要素，以及凯斯等人（ 1990 ）提出的计算估算的两步骤理论，构建了一种估算过程模型。模型包括五步：尝试提取；对是否使用精确答案进行评价；重述问题，即依据简化和近似的原则，进行截短（ truncation ）、凑整或补偿；利用重述产生的间接途径形成答案，使用提取或心算；位值调整（ Adjust Place Value ）和后补偿（ Postcompensation ）。情感成分通过信心标准来影响估算的实际表现。信心标准包括了提取的信心，计算的信心，满意的简化和近似策略。他们对 4 ， 6 ， 8 年级的 56 名儿童和 20 名成人进行了乘法问题的估算测试，从而对理论模型做了验证。 [16]

　　就现有文献来看，估算的理论性研究还缺乏一般性意义，研究所采用的测试工具大多局限于估算的某些任务范围。特别是关于估算过程的理论研究，主要关注于计算估算的领域，并不能反映测量估算和数量估算的过程，但这些研究为我们理解估算和进行估算教学提供了丰富的信息。

三、估算策略和估算能力发展的研究

　　由于估算研究中估算策略类型的确定受到任务类型、呈现方式以及数字特征等的影响，估算能力发展的研究也由于所选估算类型的不同，评价指标的不一致等原因而产生不同的结果。所以对估算策略和估算能力发展问题的综述，从三个类型领域来进行。

（一）计算估算

　　雷斯（ Reys ）等人把计算估算定义为是心算，四舍五入技能，位值等数概念，以及快速形成合理计算结果的心理补偿等知识和能力之间相互作用的过程。他们访谈了 59 位较为熟练的估算者（成人和 7 到 12 年级学生），界定出三个主要的计算估算过程：重组，转换和补偿。重组是改变数字以产生一种内心易于处理的形式；转换是把问题的数学结构改变为一种易于处理的形式；补偿是通过调整，使之反映由于重组和转换而出现的数值变化。 [17] 勒费布尔等人（ 1993 ）的乘法估算研究表明：估算表现随年龄而提高，但显著的发展变化是体现在用于执行估算任务的概念性知识上。 6 年级儿童似乎理解了简化原则在估算中的作用，儿童通过四舍五入和先前补偿来简化问题以得到合理的估算。 [18]

　　多克（ Dowker ， 1997 ）使用心算熟练度任务，计算估算的评价任务，和开放的计算估算任务对 215 名儿童（ 4 岁 9 个月到 9 岁 10 个月）进行测试，结果表明，估算的熟练程度随算术能力而增加，随问题难度而降低。估算能力会受限于儿童的起始算术水平。尽管处于该水平的儿童也使用了一些估算策略，但与他们的估算常常是不相称的，估算值也是不合理的。心算表现水平低的儿童中较差的估算能力反映了他们相关的正式算术知识的缺乏。 [19] 这就说明计算估算不是独立于精确计算能力的。

　　莱曼利（ Lemaire ）等人（ 2000 ）用三位数加法问题考查了 5 年级学生在计算估算中的策略。口头报告出四种策略：分解的凑整（ rouding with decomposition ），不分解的凑整，截短和补偿。结果表明，策略的有效性和使用频率存在很大差异，凑整使用最频繁，补偿使用最少。截短是表现最快的策略，补偿策略最慢，但补偿策略产生的估算最精确。儿童以适宜的方式进行策略选择。 [20] 司继伟和张庆林（ 2003 ）借鉴莱曼利与西格勒提出的儿童认知策略的一般概念框架，运用自编的包含了整数、小数和分数的加、减、乘、除运算的估算题目，对 210 名小学六年级儿童的计算估算能力进行研究。结果表明儿童的估算成绩明显受到数字类型和运算规则的交互影响，儿童能够运用多种估算策略，但各种策略的使用频率、执行速度和准确性都存在明显的个体差异。 [21]

　　绝大多数计算估算的研究收集了估算的精确度（估算值和正确值间的差异）和口头报告（考查策略使用情况），有少量研究也收集了解决估算问题所用的时间或控制了时间变量，但所采用的估算任务在各研究中差异较大，往往难以进行比较。但研究已表明计算估算具有年龄差异，也获取了一些常规的策略类型，并表明计算估算能力与数学中的精确计算能力紧密相关。但对计算估算出现的年龄时间，似乎仍没有一致的结论。

（二）测量估算

　　测量估算被看作是没有工具的物理测量。大多数测量估算研究是在线性测量的特征上展开，如长度和距离估算。测量估算的认知过程可能随所估算的特征而变化。 [22] 测量估算形成的先决条件包含两个类属，即皮亚杰描述的逻辑推理过程和具体的测量概念知识。 [23] 一般认为长度守恒和转换两种逻辑推理过程与线性测量十分相关。两种推理都是在儿童 6 到 7 岁时才得以发展。 [24] 但赫尔伯特（ Hiebert ， 1984 ）研究证明，一年级儿童虽还没有发展这些推理过程，但已能成功地通过教学来学习一些物理测量概念。缺少守恒和转换推理似乎并不限制儿童对大多数测量概念的学习。 [25]

　　福雷斯特（ Forrester ）等人（ 1990 ）的研究 要求 5-8 岁的 67 名儿童完成了 距离，面积和体积的估算任务。 任务类型分“实际生活”形式和“数学任务”形式 。 研究发现，背景对估算策略有显著的主效应， 估算能力有某些年龄差异的迹象，但组间比较差异不显著。结果表明差异与任务类型有关，儿童对 “实际生活”任务产生了低估的答案，而对 “数学任务” 产生了高估的答案。研究发现五种主要策略解释：不知道；想的；猜的；想象的（通过看和比较）；想象的（通过数数）。年幼儿童有一种回答不知道的趋势，而年龄较大儿童会解释他们的估算策略。 儿童的回答强调了想象和课堂经验的重要性。 [26]

　　乔拉姆（ Joram ）等人（ 1998 ）通过对有关测量估算的教育学研究进行综述，概括出第一代研究仅在于积累儿童和成人如何估算的资料。估测的是记忆物体，造成个体间所估测物体不同一。第二代研究关注于个体估测各种特征（如高度和重量）的能力差异。实物呈现保证了个体间所估测物体的同一。错误百分比成为估算精度的一种测查手段。研究发现线性测量估算比重量、液体容量、体积等估算的精度要高，比温度估算的精度要低。第三代研究显示了对认知过程的研究兴趣。主要考察人们如何做出判断以及所使用的策略。研究表明测量估算是一种非常不稳定的过程，易受被估算物体特征所影响。

　　此外，测量估算策略的讨论集中于心理测量，单位转换和估算项目转换。心理测量包含了想象一种与估算项目并排的测量工具的策略和单位重述（ unit iterate ）的策略。单位重述是测量估算中最常用的策略。单位转换策略指估算者在估算过程没有呈现单位时，采取某种方式转换单位，如寻求参照点。使用参照点缩小了许多估算的认知需要。建构一套参照点可以帮助估算者为某个估算特征发展一套内部的数量范围。估算项目转换指估算者在内心先于估算而把估算项目分解或改编为更小的连续性数量单位。 [27]

　　数学教育工作者常常推荐学生使用策略进行测量估算，诸如参照点或基准策略。乔拉姆等人（ 2005 ）的研究结果表明，儿童的策略使用预示了他们对标准线性测量单位的表征精度和估算精度。与没有使用参照点策略的学生相比，使用了参照点策略的学生对长度的估算和对标准单位的表征更加精确。 [28]

（三）数量估算

　　在三种估算类型中，对数量估算的关注最少。这种估算类型需要估算不同集合的基数值。数量估算和测量估算主要的区别在于前者是不连续量，线性测量是连续量。 [29]

　　伯鲁迪（ Baroody ）等人（ 1991 ）对高智商学前儿童（ 4 岁 11 个月到 6 岁 5 个月）进行研究。先向儿童提供了两周的估算教学，主要是对坛中 50 到 500 个筹码进行估算，记录，检查，标签，参照估算。三个月后给儿童三种数量估算任务。开放性任务是估算卡片上点的数量。数字参照任务是估算卡片中的点数是多于 x 还是少于 x ， x 是参照点。数量顺序任务是使用两个参照点估算。结果表明儿童的估算精度随所估算数量增大而剧烈下降。儿童似乎能目测 3 个物体，大约有 80% 的时间能对 8 个物体的集合给出实际值的 25% 以内的可接受估算。在 15 个物体的集合上表现剧烈下降。因此，即使是某些高智商的儿童也仅可能从小于 10 的集合的估算教学中获益。结果也表明，不同的成功率依赖于集合的大小与参照数字的接近程度。 [30]

　　伯鲁迪采用的是估算卡片点数的方法，从无参照和有参照两个方面来考查。但对学前儿童来说，卡片上的点数，仍是比较抽象的符号物，脱离实际生活情境。卡片上的点是一种平面排列，缺乏空间立体性，只能从分布面积和密度上为儿童提供直观，且参照点也是抽象的数字，使儿童缺乏对估算量进行分解和重组的可能性。

　　克里蒂斯（ Crites ， 1992 ）以西格尔等人（ 1982 ）的研究为基础考察了熟练和不太熟练的（有关估算能力） 3 、 5 、 7 年级儿童在数量估算中的策略。研究显示，三种策略解释了儿童所使用策略的 2/3 ：基准比较，眼球效应（一种诸如“看起来像那么多”的知觉描述），和分解－重组。成功的估算者趋向于使用分解－重组和多重基准策略，而不太成功的估算者使用基于知觉的策略。特定策略的使用是与较高的可接受估算的百分比相联系的，导致可接受估算的策略至少 50% 的时间包含多重基准和分解－重组策略。 [31]

　　布拉德（ Brade ， 2003 ）的研究考察了在使用计算机估算教学活动背景下幼儿数量估算技能的发展。研究依据数量估算的策略水平，把估算发展划分为 9 个水平：水平 0 是“前估算”水平，即儿童不数数就不能提供估算；水平 1 也是“前估算”水平，儿童无策略，或仅是大胆猜测；水平 2 是空间范围，儿童感知集合大小，对小集合匹配小数字，大集合匹配大数字；水平 3 是空间范围的扩展，主要是目测；水平 4 是直觉扫描，即估算是基于一种直觉的定量过程；水平 5 是基准扫描，即用与基准相似的直觉定量知识扫描，儿童发展了一个或多个基准；水平 6 是规则排列的组合，即儿童使用一个目测的集合或想象的基准，重述数量来产生估算值；水平 7 是不规则排列的组合，儿童在不规则分布的目标任务上使用与水平 6 相似的策略，需增加心理提醒和重述基准的能力；水平 8 是分解与重组，儿童先把目标量分解为样本，然后通过数数或与基准比较而量化样本，最后重组样本得到估算值。对学前班和一、二年级各两个班的儿童进行了数量估算的前测和后测。每个年级有一个班作为处理组，进行一种计算机活动的教学，教学活动在于引导儿童解决某些基于假设性理论学习轨道的数量估算技能的问题。研究结果没有表明任何班级的儿童能得益于该教育。但发现在策略和估算精度之间有正相关。 [32]

　　周欣等人使用有参照估算对 181 名大、中、小班的中国学前儿童进行了数量估算测查。结果表明：幼儿的数量估算有一定的年龄差异，得分随年龄递增，但各年龄班的得分水平相差不大，幼儿估算得分普遍较低。她们认为，造成儿童估算水平低的原因可能是由于儿童缺乏相关的学习与生活经验。 [33]

四、关于估算教学

　　美国的《学校数学的课程标准和评价标准》指出估算是一种能够用于非常规问题解决情境的技能，是学习者能够用于问题解决的一种情景性工具。它应该通过与其它概念的整合进行教学。 [34] 手工材料

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