4～6岁儿童书面数符号表征和理解能力发展的个案研究

_uacct = UA-670247-6; urchinTracker(); [ 摘 要 ] 通过测查、观察、问卷与访谈的方法对 8 名个案 儿童 的 书面数符号 表征能力的发展进行中、大班两年的跟踪研究表明：个案儿童的书面数符号表征能力在两年中有了不同程度的进步，但表现出较大的个别差异。儿童的书面数符号表征能力在两年中表现出相对的稳定性，中班上学期的书面数符号表征能力得分高的儿童在大班末时得分仍然偏高。儿童的基数概念、书面数符号表征能力以及书面加减运算之间有着密切的联系。高得分组与低得分组的儿童表现出明显的个性差异，如在学习兴趣、注意力、自控力与坚持性方面高得分组有明显的优势。高得分组与低得分组的儿童的家庭教育也表现出不同的特点。

[ 关键词 ] 儿童；书面数符号；能力；分组；发展

一

自 20 世纪 80 年代以来，我们在儿童语言文字读写能力的发展方面已有了相当的研究和了解，但在儿童如何学习数字符号及如何理解数符号系统的功能和结构方面知道的并不多。数学符号的学习对儿童数学能力发展的重要性也许不亚于早期的书和文字环境对儿童早期读写能力发展的重要性。数符号运用对个体思维和认知发展有重要影响。首先，它是儿童从具体数学思维向抽象数学思维转化的标志。当儿童能阅读和理解数的符号时，这种把数从具体事物参照体系中独立出来的过程就趋于完善。其次，它提供了一种儿童和成人共享的认知模式，为儿童和成人的数交流提供了基础。当儿童开始运用这些符号，它们很快成为儿童数学思维的一部分，并为儿童进一步的数学学习提供更宽泛的可能和前提。

符号系统的抽象程度越高，它的信息传输的效率也越高，但同时也意味着它对初学者的学习所带来的挑战也越大。被新皮亚杰理论称为“中心数结构”、被芒恩称为“数认知模式”的数学符号系统，问就是这样一个包含了几方面特殊数知识的抽象网络系统。它不仅包含了数词、计数、书面数符号以及对数的表征等多方面的知识和技能，还有许多仅以数字组成的算术表达式。儿童在早期需要花相当长的时间学习如何理解与运用这些算术式。儿童很小就开始接触口头数数和用数词来计数的练习，这种口头形式的数符号系统的完全掌握要经过若干年的实践。正是在这一基础上，儿童有可能开始接触和学习书面的数符号系统和算术表达式。英美的研究发现，尽管学前儿童在学习书面数符号方面具有很大潜力，不少儿童在初学书面数符号时会有较大困难。如儿童在具体数学问题和符号性算术表达式的转换上有困难；有些儿童尽管能阅读和书写数符号，但往往不理解数的位置和数值的关系，有些儿童甚至到小学四五年级都颇感困难等等。另外，因为语言上的有利条件，亚洲儿童数数技能的发展早于美国儿童，在数的十进制系统和数值概念上的发展也早。咪勒发现，与中国儿童相比，美国儿童在把数词的名称与阿拉伯数字匹配时会有困难。原因在于中文数词名称组成了清楚的十进位系统，而英文数字名称则没有。基于这些背景，我们试图进行相关个案研究以期了解中国儿童书面数符号表征和理解的发展特征与西方儿童是否相同，或中国儿童在学习书面数符号时也是否遇到了和西方儿童相似的问题。

本研究是一个为期两年的跟踪研究的一个部分，跟踪研究采用了量化与质的研究相结合的方法。个案研究的目的在于通过对个案比较深入和多方面的了解来对这一年龄儿童的书面数符号的发展线索进行描述与解释，以帮助我们更加全面地了解儿童在这一方面的发展。研究的问题有：一是我国 4-6 岁学前儿童书面数符号表征和理解能力的发展特征是什么；二是 4-6 岁学前儿童书面数符号表征发展的个别差异情况如何；三是影响儿童书面数符号表征和理解能力发展的因素是什么。本研究采用了个别测查、观察、家长问卷与访谈、教师访谈的方法。

被试为上海两所幼儿园的各一个班级的儿童，共 8 名，一所幼儿园 4 名。对 8 名儿童进行了中、大班 2 年的跟踪研究。被试选择根据第一次书面数符号表征测查与数概念测查的结果而定，即中班初期在两个班各选取测查得分最高的与最低的各 2 名儿童作为被试。

表 1 儿童被试信息

儿童在 2 年 4 个学期中计参加了 8 次 (5 种 ) 测查。中班第一学期 2 次：“书面数符号表征测查”及考察基数概念水平的“按数取物测查”；中班第二学期 2 次；智力测查与“书面数符号表征测查”；大班第一学期一次：“书面数符号表征测查”；大班第 -, 学期 2 次：“书面数符号表征测查”， “书面加减运算”与“书面加减运算题符号表征”。每一被试每次测查时间约 20 ～ 30 分钟。

书面数符号表征测查是在修斯同类测查的基础上修改而成的，分三个部分：实物一符号，要求儿童把出示纽扣的数量写在纸上；符号—实物，要求儿童根据出示卡片上的数字取出相应数量的纽扣；数字认读，认读卡片上的阿拉伯数字。第一次测查中的每个部分的表征数量为 1 — 15 ；第二次测查中的数量为 1 — 20 ；第三次测查中的数量为 1 — 40 ；第四次测查中的数量为 1 — 150 ；前三次的测查运用了纽扣作为实物，而在第四次测查中，由于涉及的数量较大，为便于儿童数数和缩短摆放纽扣的时间，改用福禄贝尔教学材料 (J2) 中的一个木珠盒以及另加 50 颗纽扣。

在“按数取物”的测查中，主试请儿童从一个放有 40 个纽扣的盒子中依次拿出数量为 5 ， 10 ， 15 ， 20 ， 25 和 30 的纽扣。

在书面加减运算测查中，每个儿童完成有 12 道加法与 12 道减法组成的 100 以内书面加减运算测查。主试对儿童说拣会做的做，不会做的题目可以不做。儿童在完成加法题以后做减法题时如没有注意到两边题目加减符号的差异时，主试给予提醒。

书面加减运算题符号表征能力测查是在斯托拉德 (Stallard ， 1982 ，引自 Hughes ， 1998) 的测查的基础上修订而成的，分成两个部分：一是符号—实物。这一部分内容即斯托拉德的测查，由 15 张卡片组成，每一张卡片上分别写有阿拉伯数字或加减运算题。主试先拿出一个放有 20 颗纽扣 ( 红蓝色各半 ) 的小塑料盒和一个小玩具熊放在桌子上，随机出示一张卡片，对儿童提问。二是实物一符号。从上述的 15 张卡片中拿出其中的 8 道加减运算题作为测试题。主试先根据题目表现出在原有的纽扣集合中添加或拿走纽扣的行动过程，请儿童用笔把算式写出来，所有被试的题目顺序均相同。

每个儿童在数符号表征测查中每做对一个题目得一分，这样测查 1 中满分为 45 分 ( 测查 2 为 60 分，测查 3 为 120 分，测查 4 为 450 分 ) ；在加减运算测查中，每做对一个题目得 1 分，满分为 24 分；同样，在加减运算题符号表征测查中，也是每做对一个题目得 1 分，满分为 23 分。

观察时间从中班第一学期中至大班上学期末。每个被试每周观察 1 — 2 次，每次 0 ． 5 — 1 个小时。观察内容为数学课、珠心算、活动区活动或游戏。课堂观察记录包括教师的语言行为及被试儿童的行为表现，其他活动与游戏时的观察记录以儿童的行为为主，加上教师及其他儿童与观察被试的交往行为。在大班下学期，所有的家长完成了一份家长问卷。问卷的内容包括：家庭基本情况、家庭物质环境、家长一儿童互动、家长教育观等。对两个班级的 5 位教师各进行了一次访谈，内容为对本班个案儿童各方面发展特别是数学能力发展及对影响儿童数学能力发展的因素的看法。对所有家长进行一次访谈的计划由于各种原因未能全部兑现，最终对 4 位家长进行了访谈。内容是有关对儿童发展的评价及对孩子在家的数学教育的情况。教师与家长访谈均在征得本人同意后录音，后把录音逐字转化为书面文字。对访谈与观察记录资料采用质的研究方法进行了登录、编码与概括成文的处理。

二

（一）儿童的家庭背景

根据问卷、访谈资料， 8 位儿童的家庭背景与家庭教育情况大致如下：

儿童 A1 生活在一个 5 口之家，外婆外公对其照料较多。父母文化水平不高。家庭收人、家庭教育物质环境中等水平。有一位美术家教。父母、外祖父母平时较注重对她的教育，经常在家练习拼音、英语、写字、算术、珠心算，有书面数符号方面的训练，但教育的方法较单一、刻板。儿童 A2 生活在一个 5 口之家，平时与外婆外公住在一起并由他们照料，父母另住，定期来看望。父母文化水平与家庭收入不详，家庭教育物质环境中上水平。外祖父母较注意对孩子的家庭教育，经常给他讲故事，做数学游戏，经常跟他谈数方面包括书面数符号的知识。儿童 A3 父母离异，与祖母、父亲同住。由于父亲常出差，祖母负责照料。父亲大学文化，家庭收入中上，家庭教育物质环境中等水平。祖母对其要求较严，注重对其进行教育，经常给她读书、讲故事，在生活中谈论数，但并不经常有意识地教她数学方面的知识。儿童 A4 与父母生活在一个 3 口之家。父母均是本科以上学历，家庭收人、家庭教育物质环境中上水平。父母不溺爱孩子，较注重对孩子独立性的培养，并注意在生活中通过解决问题向孩子进行数学教育包括对书面数符号的认识。儿童 B1 与父母生活在一起。父母文化水平不高，家庭收入中等，家庭教育物质环境中下水平。因父老来得女，对其较宠爱，许多事情父母会包办。家长经常随意让她不来幼儿园，对孩子的学习与发展不是很重视。儿童 B2 的父母均在外地工作，与姑姑、姑夫生活在一起。姑姑、姑夫与父母的文化水平不高。家庭收人、家庭教育物质环境中下水平。姑姑、姑夫对他主要是以生活照顾为主，对他的约束和教育方面考虑较少。教师认为，他在大班一年中取得了较大进步，主要原因在于他妈妈为了他的教育曾留在上海一段时间专门陪伴他。儿童 B3 与父母生活在一起。父母文化水平不高，家庭收入中等，家庭教育物质环境中下水平。父母工作较忙，她两岁就入托儿所，集体生活养成了她的大胆独立的个性，家里的事大都让她自己干，从不包办。父母比较注重对她的艺术方面的训练及兴趣的培养。儿童 B4 与父母、祖父母生活在一起。父母文化水平不高，家庭收入中下，家庭教育物质环境中等水平。父母很重视对他的教育，尤其是早期智力投资，除了购买许多儿童杂志、书籍外，还尽量带他到处参观游玩，扩大眼界，培养了他在数学方面良好的兴趣。

( 二 ) 儿童在幼儿园数学学习中的表现及个性特征

根据幼儿园的观察与教师、家长的访谈， 8 位儿童各方面的发展状况如下：

儿童 A1 对数学学习有兴趣，参与态度较积极，但注意力很容易分散，自控力与坚持性不够，与同伴交往不多；对数学课堂学习内容掌握不充分，做数学题的准确率低，经常不能独立完成数学题。个性文静、听话、胆子小。教师与家长一致认为，她的数学发展水平一般，但两年中在性格、参与集体活动以及能力方面进步较快。儿童 A2 对数学学习的兴趣一般，易受环境与材料的影响，参与态度不积极，注意力很容易分散，自控力与坚持性不够，与同伴关系欠佳，经常招惹是非；在一般数学活动中，基本可以完成任务。个性生性好动、调皮，教师与家长一致认为，他的数学发展水平一般。儿童 A3 对数学学习有较高兴趣，参与态度积极、认真，注意力大多数情况下很集中，自控力、坚持性较好，与同伴的交流与合作不多；对数学课堂学习内容掌握出色，接受能力较强，做数学题的准确率高。个性文静、胆子小，性格不够开朗，动作较慢，做事有条理，个人的自理能力较强。教师与家长一致认为，她的数学能力发展水平较好。儿童 A4 对数学学习兴趣一般，参与态度认真用心，注意力很集中，自控力、坚持性较好，主动与同伴的交流与合作不多；对数学课堂学习内容掌握较好，接受能力较强，做数学题细心、准确率较高但速度较慢。个性乖巧、内向、文静，遵守规则，自理能力强，爱好音乐、体育活动，擅长表演。教师与家长一致认为，她的数学发展水平较好。儿童 B1 对数学学习没有兴趣，参与态度不积极，情绪低落，注意力很容易分散，坚持性不够，与同伴交往中有退缩行为；对数学课堂学习内容掌握不充分，思维反应较慢，经常不能完成数学课的一般任务。个性较内向，自理能力、交往能力及各方面的发展不如其他儿童。教师认为，她的数学能力发展水平较差。儿童 B2 对数学学习兴趣不大，参与态度不够积极，注意力很容易分散，自控力与自我约束能力差，与同伴的关系欠佳；对数学课堂学习内容的掌握经常不充分，学习效果取决于兴趣、参与的质量和活动的方式，做数学题有一定的准确率。个性生性顽皮，好动，行为习惯较差。教师认为，他的数学发展水平较差，但在大班一年中取得了较大进步。儿童 B3 对数学学习有兴趣，但易受活动材料的影响，参与态度积极和投入，注意力很集中，善于与同伴交流；对数学课堂学习内容掌握较好，记忆与归纳能力较强。个性大胆、自信、独立、好胜心强，自理能力、交往能力、语言表达能力较强，做事有条理，易敏感，不太能承受挫败。教师认为，她的数学能力发展水平中上。儿童 B4 对数学学习有较高兴趣，喜欢有挑战性的学习内容，参与态度积极、投入，注意力很集中，自控力、坚持性很好，独立性较强，与同伴的交流不多；对数学课堂学习内容掌握出色，接受能力较强，逻辑推理能力较强，做数学题的准确率高。个性自信、好学，爱探究，爱思考，胆子较小，不善于自我表现。教师与家长一致认为，他的数学发展水平优秀。

( 三 ) 儿童书面数符号表征能力在两年中的发展

表 2 儿童在 4 次书面数符号表征测查中的得分

( 备注：得分一栏最高分中上 =45 ，中下 =60 ，大上 =120 ，大 F

450 ，表征数量一栏最高分中上 =15 ，中下 =20 ，大上 =40 ，大下 =150)

表 2 列出了儿童在每学期一次的书面数符号表在测查中的得分情况。可以看出，儿童在中班上学期的匀一次书面数符号表征测查结果表明， 8 个儿童中的 6 ／ 1 儿童尽管不会运用阿拉伯数字符号来表征物体的数量但他们都创造性地运用了不同的非数字符号来表征难体的数量。当向儿童出示纽扣，要求把纽扣数量写下来时，儿童的反应可归为修斯 (Hughes ， 1998) 提出的四种水平：一是随意性反应 (Idiosyncratic) ，符号与数量无任何关系，如涂鸦、画画或想像性文字；二是图像式反应 (Pictographic) ，符号既反映数量也反映实物特征，如形状、颜色或大小等；三是图符式反应 (Iconic) ，符号只反映数量，不反映物体特征，如竖线、数点等；四是符号式反应 (svmbolic) ，即使用阿拉伯数字。非数字符号表征的方式在中班下学期很快向符号方式转换，在大班上学期时完全消失。从表征的数量来看，大部分儿童也有了一个飞跃的发展，有的儿童从最初的一点不会运用符号表征，到 2 年后能用符号表征 100 以上的物体的数量。 8 人中儿童 B1 的进步非常缓慢。数概念发展好的儿童在书面数符号表征能力方面与数概念发展差的儿童之间的差异比较明显，且这种差异在 2 年中始终存在。随着年龄的推移，四个原先较差的儿童在 2 年中的进步也有大有小，但总的来说， 8 个个案中儿童在中班第一次的书面数符号表征得分不理想的，在两年后大班末的测查中得分还是相对较低。看起来在第二、三次的测查分数上两个组得分差距逐步拉小，而事实上，高得分组儿童的分数受到了测查分数上限的影响，否则数概念发展好的儿童与差的儿童之间的得分差距还要大。另外，儿童的书面数符号的表征能力有很大的个别差异，这种差异在中班上学期的第一次测查就表现出来。

( 四 ) 儿童的书面数符号表征能力与其他测查得分之间的关系

根据统计分析结果，儿童的书面数符号表征能力与他们在其他几项测查中的得分有显著正相关。表 2 、表 3 的个案得分数据也表明，在第一次书面数符号表征测查中得分较高的儿童不仅在后来的几次书面数符号表征测查中得分较高，他们在基数概念、智商测查、书面加减运算以及书面加减运算符号表征的得分上相对也高，但书面数符号表征测查中得分相差不多的儿童在书面加减运算以及书面加减运算符号表征的得分上却可能不同。这是因为加减运算除了要求对数符号的表征与理解的技能以外，还要求有运算的技能。在幼儿园末和小学初期，儿童的加减运算能力往往是对他们的数学成绩进行评定的重要依据，而这种运算能力与儿童的书面数符号的表征能力有密切的关系。

表 3 儿童在其他四种测查中的得分

( 备注：基数概念栏最高分 =3 ，书面加减运算栏最高分 =24 ，书面加减运算符号表征栏最高分 =23)

三

在中班上学期的测查中，尽管大部分个案儿童不会运用书面数符号来表征物体的数量，但他们都能创造性地运用不同的方式来表征物体的数量。这一结果与英国的研究结果是一致的， (Hughes ， 1998) 尽管中国的被试相对于英国的被试年龄要小。两年的研究表明，儿童在中班上学期开学时数概念发展水平有较大的个别差异，在发展较差的 4 人中有 2 人不会运用书面数符号来表征物体的数量，另外 2 人也只会用图像式表征的方式来表征 3 — 4 个物体。这几位儿童的基数概念水平相对于同班儿童都较差，分别为 2 、 5 和 9 ， 而他们的同班儿童好的却能达到 30 以上。在 2 年中，这 4 人中有 3 位儿童的书面数符号表征能力发展较快，特别是在大班的一年中有了一个飞跃。在大班末都能表征 100 或 100 以上的物体数量。但其中的一位儿童 Bl 的书面数符号表征能力发展非常缓慢，在中班下学期与大班上学期的 6 个月之间能表征的物体数量几乎没有多少变化，只是在表征的方式上从图符式发展到符号式，至大班末也只能表征 1 8 个物体。这种情况在两个班的儿童中属于极个别现象。

儿童的书面数符号表征能力的个别差异在两年中始终存在。经过两年的幼儿园教育，到大班末时这种差距在大多数人之间逐步缩小，但得分最高者与最低者之间的差距反而更大了。本研究结果表明，在数概念发展较好的 4 人中有 2 人在中班初期就能运用正规的书面数符号来表征至少 30 个物体的数量，另外 2 人尽管最初运用了图像和图符式表征的方式，但他们表征的数量在中班初期都达到了上限水平。这 4 人在四次书面数符号表征测查中的得分大都达到了上限分数，也就是说，如果测查题目再接着往下做，他们的得分肯定还要高。其中儿童 A3 表征方式的转换相对于其他 3 人，甚至于比其他所有 7 人的发展都慢，故她在大班末时的书面数符号表征测查的得分也相对低于其他 3 位优异者，但仍好于低分组。儿童 A3 表征方式转换的缓慢有点特殊，她的基数概念掌握得很好，能阅读数字符号，也能完成从数字符号到物体的转换或从物体到图像符号的转换，惟一缺乏的就是在物体的数量与数字符号之间建立联系。这一案例是一个典型的教育落后于发展的例子，即成人没有及时地把有关的数学符号知识教给她。问卷调查结果表明，她的祖母平时会帮助她复习在幼儿园学习的内容，但很少有意识地教她数学方面的知识。而在中班时，幼儿园的数学教育中涉及书面数符号知识的内容并不多，加上她由于身体状况经常缺课可能也是一个原因。这可能也是她在大班末时书面数符号表征测查得分不及其他高得分组儿童的主要原因。在儿童掌握了基数概念以后，及时地给他们提供书面数符号的学习经验能更好地促进他们的数学能力的发展。

儿童的书面数符号表征测查得分与其他 3 项数学测查有正相关从理论上讲是合情合理的，同时也说明了这几种测查方法的有效性和可靠性。儿童对基数概念的掌握是书面数符号表征的前提，在中班上学期基数概念发展较好的儿童，不仅在以后各次的书面数符号表征测查中得分较高，在大班末的书面加减运算中得分也偏高。结果也表明，中班上学期儿童的书面数符号表征测查得分高的儿童，其基数概念测查的得分肯定高，但反过来，基数概念测查得分高的儿童，他们在书面数符号表征测查中得分不一定高，但也不会太差。对这些儿童而言，他们缺乏的也是书面数符号的学习经验。该研究总体样本中，在中班上学期基数概念测查得分达到上限分数的儿童大多数在大班末的书面加减运算中得分也偏高。但也有少数儿童在后来的加减运算测查中得分平平，甚至有个别的还得了低分。这说明这些儿童虽然在早期基数概念的掌握上发展较早，但后来由于各种原因，他们在数学能力的发展上进步不如同伴。另外，基数概念的掌握与书面加减运算所需的认知技能不一样，后者涉及到更多的子技能，抽象程度也更高。在 8 个个案儿童之外的两个儿童在中班上学期基数概念测查中虽然得分平平，但在大班末的书面加减运算中得分甚至超过了个案中的高得分组成员。这两个儿童的研究资料表明，他们都有着优异的个人智商条件和良好的家庭教育条件。这两者少一不可。

几方面的资料表明，书面数符号表征测查的高得分组与低得分组儿童有很大的个性差异，本组内的儿童在个性特征上有相当高的共性。高得分组儿童普遍对数学学习的兴趣较高，参与态度积极认真，注意力很集中，自控力、坚持性好，接受能力强，个人的自理能力较强。低得分组儿童对数学学习没有兴趣或兴趣一般，参与态度不积极，注意力很容易分散，自控力、坚持性较差，与同伴的关系有欠缺，对数学课堂学习内容掌握不充分，其中的两个男孩子生性好动，调皮。高得分组儿童的个性与他们的数学学习之间显然是一种正向循环，而低得分组儿童的个性与他们的数学学习则是一种负向的循环。两个组的 8 个儿童中有 7 个儿童个性上的一个共同特征是与同伴的交流与合作不多或在同伴相处方面有问题。可见，培养儿童的社会交往能力和合群的个性是当前教育的—个重要课题。

从儿童的家庭背景与家庭教育的情况来看也有共性，但并不是很多。共性比较明显的是低得分组的儿童除一人以外都不是主要由父母照料，而这一人也是父亲老来得女的特殊家庭。相对来说，低得分组儿童家庭有的对孩子的教育不够重视，如 B1 和 B2 的家庭，有的是虽然注重教育，但由于祖父母为主要教养人，容易宠爱孩子，并在对孩子的要求或教育方法上容易出现问题，如 A1 和 A2 的家庭。这类家庭在祖父母与父母对孩子的要求与教育方法上可能存在着不一致性。得分高的儿童基本上都与父母一起生活。他们的家庭背景有 2 种，一种是父母受过良好教育，家庭收入与家庭教育的物质环境都不错，如 A3 和 A4 的家庭；另一种是虽然父母的受教育水平不高，家庭收入与家庭教育的物质环境不算太好，但家长非常注重对孩子的教育，如 B3 和 B4 的家庭。高得分组的两种家庭的一个共同点是比较重视对孩子的教育。

从影响儿童书面数符号表征能力发展的因素来看，因素是多方面的综合。首先是年龄因素，低得分组有 2 位儿童的年龄在 8 人中最小，且与年龄最大的儿童相差近一岁。 8 人中 3 个年龄最大的儿童均在高得分组。儿童的年龄越小，年龄因素对他们数概念的发展的影响越大。但年龄是一个复合性因素，它是生理成熟与学习经验的综合，因为年龄大既意味着生理上更加成熟，同时也意味着可能有更加丰富的学习经验。其次是智商因素。从智商的得分来看，高得分组的儿童除一人外都好于低得分组，而高得分组的儿童除 B4 以外均属正常智力范围，所以他们的高得分不能仅仅归功于智商因素。低得分组中有三个人的智商略低于 90 ，但也都属于智力正常范围。从与幼儿园教师的交流来看，教师认为 B1 数概念发展水平差是由于她的智商有问题，其实测查结果表明，她的智商在低得分组中还是最高的，但低得分组中其他 3 人的进步都比她大多了。第三个因素是儿童的个性特征，高得分组与低得分组儿童个性之间的一个很大的反差是非智力因素。如学习兴趣、参与数学学习的态度、注意力的集中、坚持性、自控能力等。第四个因素是家庭教育影响。本研究资料表明，从这几个儿童来看，父母的教育水平与家庭的经济收入对儿童的书面数符号表征能力的发展好坏不是一个决定性因素。如儿童 B3 和 B4 父母的教育水平与家庭的经济收入都不算好，但他们的发展水平很好。重要的是父母对他们的教育影响。特别是这 2 个儿童在中班上学期就会用 1 — 15 的书面数符号来表征物体的数量，在幼儿园教育中还没有涉及书面数符号的学习时，他们就已经具备了这种能力，这种能力除了家庭教育的影响没有其他的解释。英美的研究也证实了家庭的经济收入情况不是决定儿童数概念发展的重要因素。家庭教育的方法也很重要。本研究发现，在家庭的数学教育中不少家长存在着困惑与误区。机械的训练对儿童的发展来说往往弊大于利。家长把家庭中的数学教育与小学中的正式数学知识的教育等同起来，忽略了学前期很重要的非正式数学知识的学习。学前儿童的数学教育更多的应该是渗透在日常生活中、结合实物或结合儿童所喜欢的活动来进行因势利导，举一反三。当然，儿童的发展并不是单个外界教育因素影响的结果，也不是诸因素的简单相加或并存，他们的发展是儿童的个体因素与环境因素相互作用、相互影响的结果。

总的来说，个案儿童的书面数符号表征能力在两年中都有了不同程度的进步，但进步的幅度有很大的个别差异。儿童的书面数符号表征能力在两年中表现出相对的稳定性，中班上学期的书面数符号表征能力得分高的儿童在大班末时得分仍然偏高。儿童的基数概念、书面数符号表征能力以及书面加减运算之间有着密切的联系。高得分组与低得分组的儿童表现出明显的个性方面的差异，特别是在学习的兴趣、注意力、自控力与坚持性方面高得分组有明显的优势。高得分组与地的分组的儿童的家庭教育也别表现出不同的特点。幼儿园教师对不同发展水平的儿童的影响作用有待进一步的研究。

（周 欣 黄 瑾 王烨芳 王洛丹 王 滨 赵振国 华东师范大学学前教育系）

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