儿童早期加法策略发展及其教育启示

        加减运算是儿童早期数学认知能力的重要组成部分，随着认知心理学的发展，人们不再只限于了解儿童加减运算结果的正确性与年龄差异，而是更想探察儿童加减运算的心理过程及影响因素。策略作为个体在计算加工过程中的执行和控制环节，策略的选择与运用作为反映个体问题解决能力的重要指标，从上个世纪 80 年代以来备受研究者的关注，其中对加法策略的探讨尤为热烈与成熟。儿童早期加法策略研究，探讨儿童早期计算策略的类型、数量、结构、水平，分析儿童运算的信息加工过程，为深入理解儿童早期数学认知能力的发展特点与规律提供了新的视角，为制定有效的加减运算教学措施及辅导方法提供了科学的依据。

        国外不少著名的数学教育方案（如 Cognitively Guided Instruction 、 Math Trailblazers 等）在基于儿童加减运算策略发展的研究上，提出了教师加减运算教学的一些重要原则，如在数学课堂中重视了解儿童解决加减运算的策略、提供丰富的操作材料与创设适宜的问题情景激发儿童运用多种策略、鼓励儿童表达与交流策略等等。这种重视儿童问题解决过程以及鼓励儿童自主建构的教学方法，对美国的学校教育以及人才培养具有深远的影响。对教师而言，了解儿童的计算策略，洞悉儿童的思维过程，不仅有助于教师科学、客观地评价儿童的认知水平，而且有利于教师积极利用儿童自发、非正式的数学经验进行适宜性的指导，从而实现“为理解而教”与“有意义的数学学习”。对儿童而言，在生动、活跃的问题解决过程中，知晓并调整问题解决策略，构建并改进数学概念，体验并形成数学学习的自信心与积极态度。

　　由此反观我国幼儿园的加减运算教学，加减运算的精确性与速度似乎是我们追求的唯一目标。在此大背景下，计算策略在幼儿园教学中常常处于缺失的状态，没有得到正确的认识与应有的重视。有的教师知道儿童的某些策略，但缺乏系统性；有的教师和家长存在认识误区，以为简单加减运算只有快速报出答案才是唯一正确方法，而忽视儿童自发产生的丰富多彩的策略世界，有的师长拒绝或禁止儿童选用符合其认知发展特点的计算策略，如数手指。笔者在一项幼儿数学认知能力的研究中，屡屡看到孩子们的如下表现：有孩子只习惯把手背在身后进行计算，或者有明显数数行为的孩子否认自己用了手指；有孩子在无法回忆起答案时，不会采取其他有效策略解决问题；有孩子坚持用某种习得的技能解决所有问题，缺乏灵活、多样的问题解决意识与能力；有孩子显示出对计算的厌烦与逃避心理……

　　看到这些现象，听到这些声音，我们不禁会问：加减计算是否完全等同于刺激与反应的联结，只需多次重复背诵而不需要孩子充分理解其间的数量关系？要求孩子快速记住成人告知的正确答案，是否远胜过让孩子多花费一些时间与精力来用自己的方式解决问题并体验数学的“再发现”过程？如果孩子用手或嘴数数来解决问题，是否比不会用任何策略的孩子更加使成人感到尴尬？幼儿园计算教学是让孩子做大量的计算练习或者只有暂时效应的技巧训练，还是创设丰富的材料、有益的活动，使孩子有效选择与运用计算策略、积极参与问题解决过程以及对自己的计算能力充满自信？……为了较好地回答上述问题，我们有必要重新认识儿童早期计算策略的表现（本文以加法策略为例），并思考如何采取有效措施在概念理解与技能练习之间取得平衡和联系以达到熟练运算的水平。

一、儿童早期加法策略发展的特点

　（一）儿童早期加法策略的类型

　　根据 Siegler 等人的研究，儿童在进入小学接受正式数学教育之前已经具备了相当丰富的数与计算概念及经验，并且在解决简单加法问题时表现出多种策略类型，一般分为如下五种：

　 1. 数手指策略， 指儿童用手指代表两个加数并通过数手指求和，常常伴有口头数数行为。进一步分为三种类型（以 3 ＋ 5 为例）：

　　全部数策略，指儿童从 1 开始连续点数代表两个加数的所有手指，如边伸手指边念“ 1 、 2 、 3 、（停顿） 4 、 5 、 6 、 7 、 8 ”；

　　最大策略，指儿童从较小的加数开始点数手指，如边伸手指边念“ 4 、 5 、 6 、 7 、 8 ”；

　　最小策略，指儿童从较大的加数开始点数手指，边伸手指边念“ 6 、 7 、 8 ”。

　　在实际计算中，儿童是以从第一个数往上数来替代全部数策略；当面对小数在前的加法题时（如 3 ＋ 5 ），从第一个数往上数即最大策略，而儿童意识到两个加数的大小并从大数往上数时即最小策略。

　 2. 口头数数策略 ，指儿童出声唱数数列以求和，有时表现为只有细微嘴部动作的默念。该策略同样可细分为上述三种类型：全部数策略，最大策略、最小策略，与数手指策略的差别在于无手指动作。

　 3. 摆手指策略 ，指儿童用手指代表两个或某个加数，不经点数立即得出答案。

　 4. 分解策略， 指儿童把某个加数拆解成更小的两个数字，与另一加数相加得出儿童熟悉的答案，然后再加上剩余的分解数字。如， 3 ＋ 4 ，儿童如果已经记住了两个 3 得 6 ，则可能把 4 拆成 3 和 1 ，先得出 6 ，再加 1 等于 7 ；对于两数之和大于 10 的加法题，如 6 ＋ 5 ，儿童先把 6 分解成 5 和 1 ，两个 5 相加为 10 ， 10 加 1 等于 11 ，这就是分解策略的一种特殊类型——凑十。

　 5. 提取策略， 指儿童从记忆中直接搜索出已记住的答案。

　　需要指出的是，数手指（ finger counting ）策略与摆手指（ finger ）策略虽然都用到了手指，但儿童的外部行为与内在认知过程都存在区别。例如，在计算 3+5 时，如果儿童数出 3 个指头，再数出 5 个指头，然后逐一点数伸出的手指，则是数手指策略；如果儿童左手同时伸出 3 个指头，右手同时伸出 5 个指头，看着手指但不点数并较快得出结果，这就是摆手指策略。从外部行为中我们也不难看出儿童在使用摆手指策略时，脑海中已经形成了与某个加数对应的手指图式，如 5 对应一只手的五指， 7 对应一只手五指和另一只手的 2 个指头，而不需要借助逐一点数来得出与加数对应的手指个数，因此计算速度与精确性都优于数手指策略。

　　此外，我们比较熟悉的使用直观物体（如操作积木、小棍，在纸上画竖线或圆圈）的策略，与数手指策略具有相同的认知功能，即儿童用物体（无论是作为天然计数工具的手指还是外部工具）表征抽象的数字意义，并在点数中监控数数过程以避免错误。因为不少研究者在考察儿童计算策略时不提供额外的操作物，所以直观物体策略没有列入计算策略类型。鉴于儿童认知发展特点以及学习兴趣的考虑，我们提倡使用这些直观物体以帮助儿童更好地理解数概念以及监控计算过程。

五种策略在执行过程中对认知资源需求、时间需求存在显著差异，并在儿童学习运算的初期按一定的顺序出现，反映了它们在成熟水平上递进演变的过程（见图 1 ）。

首先，提取策略与其他四种“支持性策略”相比，主要是从记忆中搜索答案，较少需要工作记忆资源监控问题解决过程，因此反应速度最快；同时，提取策略答案的正确性在很大程度上取决于儿童先前支持性策略的使用经验，换而言之，使用支持性策略帮助儿童在两个加数与答案之间建立正确、稳定的联系，从而有助于将正确答案保存在长时记忆中。其次，数手指与口头数数策略较多依赖儿童数数的概念性知识与程序性知识，儿童在策略执行中需要调动更多认知资源参与、监控与调整数数行为，需要外部动作或外部语言进行加工，因此思维过程相对外化；而摆手指、分解与提取策略借助儿童已有的表象或内部语言进行运算，长时记忆系统在运算过程中发挥越来越多的作用，体现出思维逐渐内化的特点。第三，数手指与口头数数策略内部也存在水平上的差异，即全部数策略、最大策略与最小策略在发展水平逐级递进。儿童最初的计算都从 1 开始数数，随着其数数概念发展，儿童开始发现数数可以从数列的中间开始，再经过多次尝试，儿童进而发现调换两个加数位置不影响计算结果；至此，最小策略因执行的快速、精确与简单而成为数手指与口头数数方式中的优势策略。

　（三）儿童早期加法策略的发展特点

　　儿童早期加法策略发展有两个显著特点，其一，五种基本策略在儿童学习加法运算的初期呈一定的顺序出现，高水平策略在低水平策略熟练运用的基础上发展而来；其二，儿童所使用的策略呈波浪式发展，即儿童在一定时期同时使用低水平策略与高水平策略，不同成熟水平的策略随着时间与儿童认知能力的发展而在使用频率上出现高低起伏的变化。

　　我们从幼儿学习加法运算的典型行为中不难看出策略出现的先后顺序：同样是回答“三加二等于几”，儿童最初从 1 开始分别数出代表 3 和 2 的手指个数，然受再从 1 开始点数全部手指；后来，儿童伸出 3 个手指，接着边伸一个手指边念一个数字“ 4 ”、“ 5 ”；再后来，儿童口头从 3 往上念“ 4 、 5 ”；若干时间后，儿童直接回答“ 5 ”……上述情景反映了加法策略呈固定顺序出现的规律：策略逐渐从外化、依赖实物的加法策略转化为内隐、依赖符号表征的策略。策略逐渐向较高水平延伸的原因是，先前策略随着使用经验更趋熟练与精确后，大大降低了儿童执行该策略所需的认知资源，因此剩余的认知资源就被用来在现存策略中去寻找过剩的加工成分，激发了新策略的发现与探索，驱使策略朝着快速、精确与省力的方向不断调整与变化。同时，儿童通过正确执行数数、摆手指等支持性策略，不仅促进了儿童对加数与答案之间数量关系的理解，而且形成了二者之间的联结，形成的联结又促使儿童更快更准地运用策略；最后支持性策略以自己的消失而促进了这个过渡过程，而提取策略得以出现或频繁使用。加法策略的演变过程给我们两点启示：第一，手指、口头数数等支持性策略能有效帮助儿童形成加数与正确答案的联系，促进提取策略的出现与使用；第二，机械背诵加法题的方法，不仅可能因记忆不准确导致答案容易出错，而且因缺乏数量理解与支持性策略使用经验，导致儿童无法采取有效策略来解决较新异或无法提取答案的任务，从而局限了儿童思维的发挥与运用。

　　其次，儿童倾向于使用多种加法策略，每种策略的使用频率随时间推移而产生波浪式的变化。作为问题解决者，儿童会使用多种加法策略，并不是单一的。即使是年龄较小的儿童，他们也并非用数手指解决所有问题。对于较为简单的题目，如加数为小数或成双，儿童也努力从记忆中提取答案；如果题目较难或者答案无法顺利搜索，儿童转而使用数手指等其他支持性策略来寻求正确答案。年龄较大的儿童，也同时使用这些策略，只不过他们在提取、分解等策略上使用频率更高，数手指、口头数数的使用频率相对下降。因此，儿童策略发展不是高水平策略完全取代低水平策略的阶梯状发展，而是波浪式前进，表现为每种策略在不同的时间达到各自的高峰与低谷。这样，儿童可以灵活根据问题的难度以及自己运用各种策略的效果选择合适的策略以顺利解决问题与获取正确答案。

二、对幼儿园开展计算策略教学的建议

　　 幼儿园历来重视培养儿童熟练、流畅的计算技能，这样儿童进入小学学习多位数计算、文字题等包含简单计算步骤的数学知识时，儿童可以快速、准确得出简单计算的答案，将更多的认知资源投入到问题解决的其他环节，从而有助于儿童解决这些更高水平的数学问题。然而，更高水平的数学问题解决不是单单取决于儿童简单计算的能力，更与儿童的数量理解程度、问题解决的意识、元认知水平紧密相连。当前的研究也发现，熟练计算必须在概念性理解和技能练习之间取得平衡与联系，厚此薄彼的做法会负面影响儿童问题解决的灵活性、速度和精确性；当儿童被鼓励运用、解释与互相讨论计算策略时，他们对数和运算的理解更加牢固，数学解决问题的灵活性与水平优于同龄儿童，同时获得了熟练计算的能力。学前时期作为儿童数学学习的准备阶段，此时的数学教育（包含计算教学）应当有助于儿童有效构建数学知识、灵活解决问题以及积极体验数学学习的成功感。因此，我们有必要在幼儿园计算教学活动中引入、开展策略方面的内容。

　（一）积极关注与了解儿童计算策略的表现与特点

　　教师学习与了解有关儿童计算策略表现与特点的知识，一方面增进教师深入理解儿童的认知特点以及思维过程，有助于教师根据儿童计算能力发展规律来有效制定、实施与调整相关教学活动；另一方面，因为策略能敏锐反映儿童在相同回答之下的不同认知加工过程，教师可以更为准确地判断儿童的思维水平，为开展适宜、个别化的教学指导提供科学依据。

　　鉴于目前教师对儿童计算策略的认识比较零散甚至贫乏，我们建议从理论学习与教学观察两方面着手加以改善。首先，教师可以通过查阅有关儿童数学认知发展的专业书刊，了解儿童计算策略发展的一般规律与特点，形成对儿童策略发展的正确认识；其次，教师更应从教学活动与日常生活中考察儿童的计算策略表现，这样既可以增进对理论知识的理解，又促进教师思考如何在教学实践中有效运用儿童策略发展的知识。教师可以根据自己的精力、需要灵活采取以下具体的策略考察办法，如根据本学期的数学教学目标选择若干难度不一的计算题，对儿童进行个别测试，详细记录儿童的回答以及期间的语言、动作等表现，并追问儿童“你是怎样得出答案的？”最后判断并分析每个儿童策略使用的类型与次数；再如，在儿童日常生活与教学活动中，可随机追问儿童的计算办法，快捷了解儿童的思考过程；教师通过与同事的交谈，交换有关儿童策略发展的表现与看法；教师还可以对儿童的策略运用进行连续观察与记录，细致、真实地反映儿童数学能力的进步，并以此帮助家长了解子女的计算能力与消除他们的某些认识误区。

（二）适宜指导儿童的计算策略运用

　　教师在观察与了解儿童计算策略发展的基础上，应积极采取有效的教学措施指导儿童的策略运用，激发与引导儿童思考问题解决的办法，提高儿童策略运用的效能，在概念理解的基础上切实促进儿童计算能力的发展。可参考如下做法：

　　其一，教师在计算教学活动中，留下足够的时间让儿童思考，而不是只满足于快速得到答案，还可要求儿童报告具体的解决方法；这样既可以帮助儿童认识到采取办法解决问题的必要，又可以使部分儿童有机会采用自己的方法得出答案，避免只是重复他人结果的现象。

　　其二，教师鼓励儿童采取多种策略解决计算问题，如提问“还有其他办法吗？”，帮助儿童认识与了解多种计算策略。

　　其三，教师应为儿童的策略运用提供必要、合适的材料，如积木、小棍等实物与纸、笔等工具，以便于儿童选择适当的材料来表征数量关系以及监控计算过程，这在计算学习的初期以及解决较难问题的时候尤为必要。

　　其四，教师根据儿童计算策略发展的规律以及儿童现有的策略水平提供适宜的指导，引导儿童尝试与使用更高水平的策略。比如，我们知道最小策略在解决计算问题时具有快速、准确、简单的特点，那是不是告诉儿童“把大数放在心里，接着往上数”就行了呢？策略指导的效果取决于以下三种因素： 1. 该策略是否处于儿童的最近发展区内； 2. 儿童是否理解该策略的优点以及操作方法； 3. 儿童是否得到适宜的策略练习机会。如果儿童已经使用从第一个数往上数的策略，这时介绍最小策略比较合适，因为儿童已经理解“顺序无关”的数数原则，关键在于提醒儿童注意比较两数大小；如果儿童的优势策略是从 1 开始数，他尚未理解起始位置不影响数数结果，此时应先帮助其理解数数原则。因此，我们应根据儿童策略发展的水平来选择适宜的策略类型进行指导。另外，策略指导的方式对于儿童选择与正确使用策略非常重要（以最小策略为例）。向儿童呈现第一个加数比第二个加数小很多的问题，如 2 ＋ 9 ，启发儿童发现最小策略，使儿童明了这种策略的操作方式，然后让他们练习更有挑战的题目，如 3+22 、 4 ＋ 33 等，并结合例子讲解该策略的优点，最后要求儿童自己解释策略，这样强化他们对策略的理解与记忆，提高他们使用该策略的频率。

　（三）创设儿童表达与交流计算策略的机会

　　创设机会让儿童表达与交流策略，不仅有助于儿童知晓与反思自己所用的策略，使儿童更有效地监控策略执行过程与提高策略使用效率，而且儿童通过讨论、观察他人使用的策略，帮助儿童了解问题解决策略的多样性与培养其尊重他人意见的态度。

 

　　首先，我们可以创设适当的问题情景，比如日常数学问题，激发儿童采取多种计算策略，并要求儿童解释或演示所用策略，这样有助于儿童逐渐认识并反思自己的思考过程。学前儿童因语言表达与元认知水平的局限，往往使这种策略报告活动在初期比较困难。此时教师应采取灵活、渐进的措施培养儿童有意识地思考所用策略，如示范大声思考、允许儿童用动作演示等等。其次，教师通过组织儿童报告与交流策略，既可以引导儿童认识到计算策略的丰富多样性，又促进儿童通过观察、模仿等方式去学习、尝试其他策略。在分享交流活动中，儿童了解与比较了多种策略，激发其发散性思维的意识，并且儿童有可能通过观察、模仿等方式学习同伴的问题解决策略；同时，儿童还可以从中学习如何倾听与尊重他人意见。

　　本文以加法策略为例，呈现了笔者对幼儿园计算教学的思考与建议，目的在于抛砖引玉，希望触发人们积极思考幼儿园数学教学如何有效结合儿童数学认知发展的特点以及重视儿童的思维过程与问题解决能力，以更好地改善幼儿园数学教育的质量，真正发挥其作为准备性教育的功能，促进儿童数学能力的长远发展。  

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